我来告诉你什么叫探究式教学

　　相对于很多新鲜名词来说，“探究式教学”算是个比较老的概念，但实际的教学过程如何？看看教材、听听课就知道了。
　　探究式教学的功能是什么？似乎没有人愿意花很多时间去思考，在我看来，探究的目的无非是培养学生的直觉与思辨能力。思辨作为哲学层面上的概念，在科学研究中充当了十分重要的角色，然而，自从实验科学诞生之后，思辨慢慢淡出了历史舞台，凡事皆实验，得不到实验证实或检验的东西很难被人接受，“伪科学”一词也随之而产生。当然“伪科学”与“错误的理论”不能混为一谈，科学研究允许失败，当明知是错误的东西还在广为传播，那就是伪科学了。当然这不在本文谈论的范围内。
　　实验固然是重要的，但无论是什么学科，从产生到发展，都离不开直觉与思辨，直觉与思辨是创造的源动力。即使是科学实验也不是盲目的，需要以直觉与思辨为基础。数学作为思维科学尤其离不开直觉与思辨。以下是我们近期出版的《问题驱动的中学数学课堂教学》一书的节选：
　　思辨能力来自对问题的不断深入剖析与辨别，思考辨析的过程是个探究的过程。教师有此理念，但往往舍本逐末，或者分不清探究与验证之间的区别，将简单的验证或验算当成了科学探究。
　　以正弦的定义为例，教师是这样引导学生探究的：（1）、一个锐角为三十度的直角三角形对边与斜边的比是多少？然后让边长发生变化，问比值有没有变化；（2）一个锐角为四十五度角的直角三角形对边与斜边的比是多少？再次让边长发生变化，看比值有没有变化。接着考虑一般情形。这节课要做什么？显然是要寻找三角形的边与角的关系，为什么要寻找这个关系？这个问题要解释清楚，既可以通过实际问题，也可以通过数学问题说明其重要性。其本质在于通过这种关系可以由某些边的长度求角度，或者由角度求边的长度。这节课的难点在于怎么发现直角三角形两个边的比决定了角度？或者角度决定了两个边的比？如果不是围绕着这个问题探究，那就是一种伪探究。教师给出了几个特殊的角，然后要求学生测量两个边的比是多少，为什么要求两个边的长度之比？既然已经告诉学生求两个边的长度之比，那还是探究吗？不过是简单的验证而已。重要的是怎么想到要使用两个边的长度之比？这才是真正的科学探究。
　　事实上，学生在此前已经学过相似三角形，都知道相似三角形的对应边成比例，这个性质有什么用？教师往往只强调了一个方面，即利用可以测量的三角形去计算另一个与之相似但不可测量的三角形，却忽略了蕴藏在相似三角形中的另一个深刻的数学思想不变量。ABC与A’B’C’相似意味着ABA’B’BCB’C’，它反映的是两个三角形对应边成比例，但如果将这个式子稍加变形，变成ABBCA’B’B’C’，涵义就大不相同了，它反映的是ABC的两个边长之比与A’B’C’两个边长之比是相同的，这就是说，只要两个三角形相似，不管其边长发生什么变化，边长的比值总是不变的，换言之，三角形边长之比是相似三角形的“不变量”。从这个意义上说，教师引导学生的第一步探究应该是重温相似三角形，寻找上述规律（揭示不变量的思想但不必告诉学生这个叫不变量）。
　　在进行第二步探究前应该说明为什么只是针对直角三角形进行研究，因为一般的三角形也有边与角，而且后续课程中的确也涉及一般三角形角与边的关系。可以从两个方面来阐述：（1）、直角三角形是最重要也是最简单的三角形，其中蕴藏着很多重要性质；（2）一般三角形可以分解成两个直角三角形，从而可以利用直角三角形来研究一般三角形。有了这个铺垫后自然就转入了直角三角形的研究。事实上，一些与一般三角形有关的后续定理（如正弦定理）正是转换成直角三角形来证明的。
　　在直角三角形中，边与边之间、角与角之间有着重要关系，例如三个边之间遵循勾股定理，两个锐角互余，然而边与角之间的关系尚不清楚。那么边与角之间有没有关系呢？在直角三角形中，如果一个锐角确定了，三角形的边能确定吗？显然不能，但不管边怎么变化，这些三角形全是相似的。将前面关于相似三角形的结果搬过来马上得到一个结论：直角三角形中只要一个锐角固定了，不管边的长度怎么变化，该锐角的对边与斜边之比始终是一样的。这意味着什么？边长之比是由角度来决定的。如果角度发生变化呢？此时不妨通过一些特殊角，例如三十度角、四十五度角等检验一下将会发现，角度发生变化时，边长之比是会跟着变化的。必要时还可以进一步探究：如果边长之比一定呢？角度有没有可能发生变化？通过这些探究可以发现：“角度决定了边长之比，边长之比也决定了角度。”这就是直角三角形的锐角与边长之间的内在关系，人们把这个比称为角的正弦。以上整个探究的过程实际上是个思辨的过程，这种探究式教学正是培养学生数学思辨能力的最好媒介。
　　正如数学演算与数学直觉、数学思辨密不可分一样，数学直觉与数学思辨也是密切相关的，有时候直觉建立在对问题的思辨基础之上，有时候思辨又依赖于直觉。在正弦的定义中，如果没有相似三角形等知识的积累与直觉感知，又如何能够意识到直角三角形的边与角之间有着内在关系？由此可见，数学直觉、数学思辨与数学演算是检验是否学好数学、真正领悟数学并能熟练运用数学解决问题不可或缺的三个基本素养，缺失了任何方面都是失败的数学教育。