借题发挥培养能力

　　摘要：课堂教学中所讲的课本教材中的例题、习题不能简单的懂了就翻过去，而应该吃透、举一反三。本文谈谈借题发挥，培养学生的解题能力。
　　关键字：借题发挥；举一反三；培养能力
　　在初中数学教学中离不开例题、习题，而课本中举出的例题、习题都具有最典型的题目性质，所蕴含的教学内容也是非常丰富的，许多考试卷中的题目都是课本例题的演化、迁移的类型题；因此吃透课本教学中的类型题是很有必要的。
　　原题（苏科版八年级上册第38页习题9）
　　如图，点A、B在直线m的同侧，点是点B关于m的对称点，AB交m于点P
　　（1）AB与APPB相等吗？为什么？
　　（2）在m上再取一点Q，并连接AQ与QB，比较AQQB与APPB的大小，并说明理由
　　根据这题我们可以得出结论：
　　如果两个点在一条直线的同一侧，对其中一个点做轴对称变换，把同侧点转化为异侧点，利用两点之间线段最短可以在已知直线上寻找到与同侧两点距离之和最短的点。
　　抽出数学模型：
　　已知直线m和直线m同侧两点A、B，在直线m上作一点M使AMBM最小。
　　一、根据结论，直接应用
　　例1如图：A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC10千米，BD30千米，且CD30千米，现在要在河边建一自来水厂，分别向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺
　　设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
　　分析：此题就是习题问题中的数学背景和模型，学生很容易找出M点的位置。再结合所学习的勾股定理很容易求出AMBM的最小值，进一步求出总费用。
　　（通过对问题模型的直接练习，可以进一步加深学生对所学数学模型的理解。）
　　二、变换背景，灵活运用
　　题目的变换是多种多样的，一个类型题目我们要快速找出问题、分析问题、解决问题。
　　如，例2如图：在正方形ABCD中，AB2，P是对角线AC上任意一点，若M是边AB的中点，求PMPB的最小值。
　　分析：B、M是定点，且在定直线AC的同侧，P为定直线上的动点，完全符合习题中的数学模型。
　　由正方型的对称性可知，作B点关于AC的对称点必为点D，连结DM与AC的交点，就是所要找到的点P，此时PMPBPMPDDM，在直角ADMZH中根据勾股定理易求PMPBDM
　　变式：（四川、达州卷）在边长为2cm的正方形ABCD中，Q为BC边的中点，P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的最小值为。
　　分析：B、Q在直线AC同侧，动点P只能在AC上运动，BPQ中，B、Q为定点，故BQ长不变，要使PBQ周长最小，应使动点P到两定点B、Q之和PBPQ最小，由例2可知，PBPQ最小值为，则BPQ的周长最小值为1。
　　例3（湖北、孝感卷）在平面直角坐标系中，有A（3，2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n时，ACBC的值最小。
　　分析：较之前面的问题，此题中数学模型较为隐蔽，对模型的识别主要靠问题本身。点C（1、n）是定直线l：X1上的动点，而A，B是定点，且在定直线l的同侧，作点A（3，2）关于定直线l的对称点A（1，2），过AB的直线y0。8x1。2与定直线l的交点即为所求的点，令x1，可得n0。4。
　　三、拓展延伸，综合应用
　　通过对一道习题的应用、变化和延伸，这对提高学生的数学素养，发展学生的学习能力起到事半功倍的作用，同时也培养了学生综合运用知识的能力。
　　例4（浙江，衢州卷）如图，已知点A（4，8）和点B（2，n）在抛物线上yax2。
　　（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQQB最短，求出点Q的坐标；
　　（2）平移抛物线，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，点C（2，0）和点D（4，0）是x轴上的两个定点。
　　当抛物线向左平移到某个位置时，ACCB最短，求此时抛物线的函数解析式；
　　当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由。
　　分析：第（1）小题完全具备习题中的数学模型，学生只要求出AP与X轴的交点坐标即为点O的坐标。
　　第（2）小题：设将抛物线y12x2向左平移m个单位，则平移后A，B的坐标分别为A（4m，8）和B（2m，2），点A关于x轴对称点的坐标为A（4m，8）。直线AB的解析式为y53x53m43。要使ACCB最短，点C应在直线AB上，将点C（2，0）代入直线AB的解析式，解得m145。故将抛物线y12x2向左平移145个单位时ACCB最短，此时抛物线的函数解析式为y12（x145）。左右平移抛物线
　　y12x2，
　　因为线段AB和CD的长是定值，所以要使四边形ABCD的周长最短，只要使ADCB最短；
　　第1种情况：如果将抛物线向右平移，显然有ADCBADCB，因此不存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短。
　　第2种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A和点B的坐标分别为A（4b，8）和B（2b，2）。因为CD2，因此将点B向左平移2个单位得B（b，2），要使ADCB最短，只要使ADDB最短。点A关于x轴对称点的坐标为A（4b，8），直线AB的解析式为
　　要使ADDB最短，点D应在直线AB上，将点D（4，0）代入直线AB的解析式，解得。故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为
　　对于第（2）小题中的问题学生严格按照习题中的数学模型来解答，思路清晰。对于第（2）小题中的问题通过简单的动静转化，巧妙地创造了应用习题模型的条件，通过对数学模型的深层次挖掘，学生自觉学会分析问题结构，开拓模型应用思路的意识和创新能力。
　　摘要：课堂教学中所讲的课本教材中的例题、习题不能简单的懂了就翻过去，而应该吃透、举一反三。本文谈谈借题发挥，培养学生的解题能力。
　　关键字：借题发挥；举一反三；培养能力
　　在初中数学教学中离不开例题、习题，而课本中举出的例题、习题都具有最典型的题目性质，所蕴含的教学内容也是非常丰富的，许多考试卷中的题目都是课本例题的演化、迁移的类型题；因此吃透课本教学中的类型题是很有必要的。
　　原题（苏科版八年级上册第38页习题9）
　　如图，点A、B在直线m的同侧，点是点B关于m的对称点，AB交m于点P
　　（1）AB与APPB相等吗？为什么？
　　（2）在m上再取一点Q，并连接AQ与QB，比较AQQB与APPB的大小，并说明理由
　　根据这题我们可以得出结论：
　　如果两个点在一条直线的同一侧，对其中一个点做轴对称变换，把同侧点转化为异侧点，利用两点之间线段最短可以在已知直线上寻找到与同侧两点距离之和最短的点。
　　抽出数学模型：
　　已知直线m和直线m同侧两点A、B，在直线m上作一点M使AMBM最小。
　　一、根据结论，直接应用
　　例1如图：A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC10千米，BD30千米，且CD30千米，现在要在河边建一自来水厂，分别向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺
　　设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
　　分析：此题就是习题问题中的数学背景和模型，学生很容易找出M点的位置。再结合所学习的勾股定理很容易求出AMBM的最小值，进一步求出总费用。
　　（通过对问题模型的直接练习，可以进一步加深学生对所学数学模型的理解。）
　　二、变换背景，灵活运用
　　题目的变换是多种多样的，一个类型题目我们要快速找出问题、分析问题、解决问题。
　　如，例2如图：在正方形ABCD中，AB2，P是对角线AC上任意一点，若M是边AB的中点，求PMPB的最小值。
　　分析：B、M是定点，且在定直线AC的同侧，P为定直线上的动点，完全符合习题中的数学模型。
　　由正方型的对称性可知，作B点关于AC的对称点必为点D，连结DM与AC的交点，就是所要找到的点P，此时PMPBPMPDDM，在直角ADMZH中根据勾股定理易求PMPBDM
　　变式：（四川、达州卷）在边长为2cm的正方形ABCD中，Q为BC边的中点，P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的最小值为。
　　分析：B、Q在直线AC同侧，动点P只能在AC上运动，BPQ中，B、Q为定点，故BQ长不变，要使PBQ周长最小，应使动点P到两定点B、Q之和PBPQ最小，由例2可知，PBPQ最小值为，则BPQ的周长最小值为1。
　　例3（湖北、孝感卷）在平面直角坐标系中，有A（3，2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n时，ACBC的值最小。
　　分析：较之前面的问题，此题中数学模型较为隐蔽，对模型的识别主要靠问题本身。点C（1、n）是定直线l：X1上的动点，而A，B是定点，且在定直线l的同侧，作点A（3，2）关于定直线l的对称点A（1，2），过AB的直线y0。8x1。2与定直线l的交点即为所求的点，令x1，可得n0。4。
　　三、拓展延伸，综合应用
　　通过对一道习题的应用、变化和延伸，这对提高学生的数学素养，发展学生的学习能力起到事半功倍的作用，同时也培养了学生综合运用知识的能力。
　　例4（浙江，衢州卷）如图，已知点A（4，8）和点B（2，n）在抛物线上yax2。
　　（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQQB最短，求出点Q的坐标；
　　（2）平移抛物线，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，点C（2，0）和点D（4，0）是x轴上的两个定点。
　　当抛物线向左平移到某个位置时，ACCB最短，求此时抛物线的函数解析式；
　　当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由。
　　分析：第（1）小题完全具备习题中的数学模型，学生只要求出AP与X轴的交点坐标即为点O的坐标。
　　第（2）小题：设将抛物线y12x2向左平移m个单位，则平移后A，B的坐标分别为A（4m，8）和B（2m，2），点A关于x轴对称点的坐标为A（4m，8）。直线AB的解析式为y53x53m43。要使ACCB最短，点C应在直线AB上，将点C（2，0）代入直线AB的解析式，解得m145。故将抛物线y12x2向左平移145个单位时ACCB最短，此时抛物线的函数解析式为y12（x145）。左右平移抛物线
　　y12x2，
　　因为线段AB和CD的长是定值，所以要使四边形ABCD的周长最短，只要使ADCB最短；
　　第1种情况：如果将抛物线向右平移，显然有ADCBADCB，因此不存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短。
　　第2种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A和点B的坐标分别为A（4b，8）和B（2b，2）。因为CD2，因此将点B向左平移2个单位得B（b，2），要使ADCB最短，只要使ADDB最短。点A关于x轴对称点的坐标为A（4b，8），直线AB的解析式为
　　要使ADDB最短，点D应在直线AB上，将点D（4，0）代入直线AB的解析式，解得。故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为
　　对于第（2）小题中的问题学生严格按照习题中的数学模型来解答，思路清晰。对于第（2）小题中的问题通过简单的动静转化，巧妙地创造了应用习题模型的条件，通过对数学模型的深层次挖掘，学生自觉学会分析问题结构，开拓模型应用思路的意识和创新能力。
　　摘要：课堂教学中所讲的课本教材中的例题、习题不能简单的懂了就翻过去，而应该吃透、举一反三。本文谈谈借题发挥，培养学生的解题能力。
　　关键字：借题发挥；举一反三；培养能力
　　在初中数学教学中离不开例题、习题，而课本中举出的例题、习题都具有最典型的题目性质，所蕴含的教学内容也是非常丰富的，许多考试卷中的题目都是课本例题的演化、迁移的类型题；因此吃透课本教学中的类型题是很有必要的。
　　原题（苏科版八年级上册第38页习题9）
　　如图，点A、B在直线m的同侧，点是点B关于m的对称点，AB交m于点P
　　（1）AB与APPB相等吗？为什么？
　　（2）在m上再取一点Q，并连接AQ与QB，比较AQQB与APPB的大小，并说明理由
　　根据这题我们可以得出结论：
　　如果两个点在一条直线的同一侧，对其中一个点做轴对称变换，把同侧点转化为异侧点，利用两点之间线段最短可以在已知直线上寻找到与同侧两点距离之和最短的点。
　　抽出数学模型：
　　已知直线m和直线m同侧两点A、B，在直线m上作一点M使AMBM最小。
　　一、根据结论，直接应用
　　例1如图：A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC10千米，BD30千米，且CD30千米，现在要在河边建一自来水厂，分别向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺
　　设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
　　分析：此题就是习题问题中的数学背景和模型，学生很容易找出M点的位置。再结合所学习的勾股定理很容易求出AMBM的最小值，进一步求出总费用。
　　（通过对问题模型的直接练习，可以进一步加深学生对所学数学模型的理解。）
　　二、变换背景，灵活运用
　　题目的变换是多种多样的，一个类型题目我们要快速找出问题、分析问题、解决问题。
　　如，例2如图：在正方形ABCD中，AB2，P是对角线AC上任意一点，若M是边AB的中点，求PMPB的最小值。
　　分析：B、M是定点，且在定直线AC的同侧，P为定直线上的动点，完全符合习题中的数学模型。
　　由正方型的对称性可知，作B点关于AC的对称点必为点D，连结DM与AC的交点，就是所要找到的点P，此时PMPBPMPDDM，在直角ADMZH中根据勾股定理易求PMPBDM
　　变式：（四川、达州卷）在边长为2cm的正方形ABCD中，Q为BC边的中点，P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的最小值为。
　　分析：B、Q在直线AC同侧，动点P只能在AC上运动，BPQ中，B、Q为定点，故BQ长不变，要使PBQ周长最小，应使动点P到两定点B、Q之和PBPQ最小，由例2可知，PBPQ最小值为，则BPQ的周长最小值为1。
　　例3（湖北、孝感卷）在平面直角坐标系中，有A（3，2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n时，ACBC的值最小。
　　分析：较之前面的问题，此题中数学模型较为隐蔽，对模型的识别主要靠问题本身。点C（1、n）是定直线l：X1上的动点，而A，B是定点，且在定直线l的同侧，作点A（3，2）关于定直线l的对称点A（1，2），过AB的直线y0。8x1。2与定直线l的交点即为所求的点，令x1，可得n0。4。
　　三、拓展延伸，综合应用
　　通过对一道习题的应用、变化和延伸，这对提高学生的数学素养，发展学生的学习能力起到事半功倍的作用，同时也培养了学生综合运用知识的能力。
　　例4（浙江，衢州卷）如图，已知点A（4，8）和点B（2，n）在抛物线上yax2。
　　（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQQB最短，求出点Q的坐标；
　　（2）平移抛物线，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，点C（2，0）和点D（4，0）是x轴上的两个定点。
　　当抛物线向左平移到某个位置时，ACCB最短，求此时抛物线的函数解析式；
　　当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由。
　　分析：第（1）小题完全具备习题中的数学模型，学生只要求出AP与X轴的交点坐标即为点O的坐标。
　　第（2）小题：设将抛物线y12x2向左平移m个单位，则平移后A，B的坐标分别为A（4m，8）和B（2m，2），点A关于x轴对称点的坐标为A（4m，8）。直线AB的解析式为y53x53m43。要使ACCB最短，点C应在直线AB上，将点C（2，0）代入直线AB的解析式，解得m145。故将抛物线y12x2向左平移145个单位时ACCB最短，此时抛物线的函数解析式为y12（x145）。左右平移抛物线
　　y12x2，
　　因为线段AB和CD的长是定值，所以要使四边形ABCD的周长最短，只要使ADCB最短；
　　第1种情况：如果将抛物线向右平移，显然有ADCBADCB，因此不存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短。
　　第2种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A和点B的坐标分别为A（4b，8）和B（2b，2）。因为CD2，因此将点B向左平移2个单位得B（b，2），要使ADCB最短，只要使ADDB最短。点A关于x轴对称点的坐标为A（4b，8），直线AB的解析式为
　　要使ADDB最短，点D应在直线AB上，将点D（4，0）代入直线AB的解析式，解得。故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为
　　对于第（2）小题中的问题学生严格按照习题中的数学模型来解答，思路清晰。对于第（2）小题中的问题通过简单的动静转化，巧妙地创造了应用习题模型的条件，通过对数学模型的深层次挖掘，学生自觉学会分析问题结构，开拓模型应用思路的意识和创新能力。